Question

设正项数列{a_n}的前项和为S_n，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
（1）求证数列{a_n}是等比数列； 
（2）若正整数n，m，k成等差数列，求证：+≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为对任意正整数n，m，当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．所以当n≥2时：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，由此能够证明{a_n}是等比数列． 
（2）若q=1，则S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．所以≥．若q≠1，则，，．所以≥．由此能够证明+≥．
解答：证明：（1）因为对任意正整数n，m，
当n＞m时，S_n-S_m=q^m•S_n-m总成立．
所以当n≥2时：S_n-S_n-1=q^n-1S₁，
即a_n=a₁•q^n-1，且a₁也适合，又a_n＞0，
故当n≥2时：（非零常数），
即{a_n}是等比数列．  …（6分）
（2）若q=1，则S_n=na₁，S_m=ma₁，S_k=ka₁．
所以≥．    …（8分）
若q≠1，则，，．  …（10分）
所以≥．          …（12分）
又因为（1-qⁿ）（1-q^k）=1-（qⁿ+q^k）+q^n+k
≤．
所以≥≥．
综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，
不等式 +≥总成立．
（当且仅当n=m=k时取“=”）  …（16分）
点评：本题考查数列的递推公式的应用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．