Question

已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0，+∞）上单调递减，f（3）=0．又g(θ)=cos2θ-2mcosθ+4m，θ∈[0，

π

2

]．若集合M={m|g（θ）＞0}，集合N={m|f[g（θ）]＜0}
（1）x取何值时，f（x）＜0；
（2）求M∩N．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,交集及其运算,二次函数在闭区间上的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f（x）在（-∞，0）上单调递减，由此能求出-3＜x＜0或x＞3时，f（x）＜0．
（2）由（1）知M∩N={m|g（θ）＞3}，又cos²θ-mcosθ+2m-2＞0，设cosθ=t，t∈[0，1]，则cosθ=t，t∈[0，1]，则h（t）=t²-mt+2m-2=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，求m∩N，即求h（t）在t∈[0，1]上恒成立的m的取值集合，由此能求出M∩N．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，
又f（3）=0，则f（-3）=-f（3）=0，
∴-3＜x＜0或x＞3时，f（x）＜0．
（2）由（1）知N={m|f[g（θ）]＜0}={m|-3＜g（θ）＜0或g（θ）＞3}，
∴M∩N={m|g（θ）＞3}，
又g（θ）=cos2θ-2mcosθ+4m＞3，即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0，
设cosθ=t，t∈[0，1]，
则cosθ=t，t∈[0，1]，
则h（t）=t²-mt+2m-2=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，
求m∩N，即求h（t）在t∈[0，1]上恒成立的m的取值集合，
①若

m

2

＜0，即m＜0时，h（t）在[0，1]上单调递增，
则h（t）_min=h（0）=2m-2＞0，此时m∈∅．
②若0≤

m

2

＜1时，即0≤m＜2时，
h（t）_min=h（

m

2

）=-

m2

4

+2m-2＞0，
解得4-2

2

＜m＜4+2

2

，此时m∈（4-2

2

，2）．
③若

m

2

≥1，即m≥2时，h（t）在[0，1]上递减，
h（t）_min=h（1）=m-1＞0，解得m＞1，
此时m∈[2，+∞）．
综上所述，M∩N={m|m＞4-2

2

}．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．