Question

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点。

（1）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；

（2）求证：AC₁//平面CDB₁；

（3）求直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小。

Answer 1

解法一：

（1）证明：∵ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴平面ABC⊥面A₁ABB₁，

∵AC=BC，点D是AB的中点，

∴CD⊥AB，

∴CD⊥平面A₁ABB₁

（2）证明：连结BC₁，设BC₁与B₁C的交点为E，

连结DE。

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴DE//AC₁

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁//平面CDB₁

（3）解：由（1）CD⊥平面A₁ABB₁，

∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁，且平面CDB₁平面A₁ABB₁=DB₁，

∴直线B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，

即∠BB₁D是直线B₁B和平面CDB₁所成的角

在Rt△DBB₁中，

∵

故，直线B₁B和平面CDB₁所成的角大小是

解法二

∵在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，

∵AC、BC、CC₁两两垂直

如图，以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC=CC₁=2，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C­­_­1（0，0，2），B₁（0，2，2），D（1，1，0）。

                             

（1）证明：∵

∴

CD⊥AB，CD⊥B₁B

又ABB₁B=B，

∴CD⊥平面A₁ABB₁

（2）证明：设BC₁与B₁C的交点为E，

则E（0，1，1，）

∵

∴

∴DE//AC₁

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁

∴AC₁//平面CDB₁

（3）解：由（1）CD⊥平面A₁ABB₁，

∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁，且平面CDB₁平面A₁ABB₁=DB₁，

∴直线B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，

即∠BB₁D是直线B₁B和平面CDB₁所成的角

∵

∴

∴直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小是