Question

（本小题满分12分）已知函数f (x)的定义域为R，对任意的x,x都满足f (x+x)=f (x)+f (x)，当x>0时，f (x)>0.(1)试判断f (x)的奇偶性.(2)试判断f (x)的单调性，并证明.(3)若f (cos2θ-3)+f (4m-2mcosθ)>0对所有的θ∈［0,］恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)  奇函数.  (Ⅱ)  增函数. （Ⅲ）m>4-2.

解析:

：解：（1）令x=x=0,则f (0)=2f (0)f (0)=0,

令x=x,x=-x,则有f (0)=f (x)+f (-x)，∴f (-x)=-f (x)，∴f (x)为奇函数.

（2）对任意的x,x∈R，设x<x，则x-x>0,f (x-x)>0，

则f (x)-f (x)=f (x)+f (-x)=f (x-x)=-f (x-x)<0,故f (x)为R上的增函数.

(3)∵f (cos2θ-3)+f (4m-2mcosθ)>0，θ∈［０,］，

∴f (cos2θ-3)>-f (4m-2mcosθ)=f (2mcosθ-4m).由（2）知f (x)是R上的增函数，

∴cos2θ-3>m(2cosθ-4)，当θ∈［0,］时恒成立.

又由2cosθ-4<0,∴m>,

而-(2-cosθ+-4)≤4-2,当且仅当2-cosθ=即cosθ=2-时取“=”,

∴m>4-2.