题目内容
【题目】
如图所示，在多面体 
中，四边形 
均为正方形，点
为 
的中点，过
的平面交 
于 点
．
(1) 证明： 
∥
；
(2) 求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析： 
由线面平行的判定定理证明
，即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求出二面角两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求出二面角的余弦值；
解析：（1） 由正方形的性质可知 
，
且 
，所以四边形 
为平行四边形，
从而 
．又 
， 
，
于是 
∥
（2） 因为四边形 
， 
， 
均为正方形，
所以 
， 
， 
且 
．
以 
为原点，分别以 
， 
， 
为 
轴， 
轴和 
轴单位
正向量建立如图所示的空间直角坐标系，
可得点的坐标 
， 
， 
， 
， 
， 
，而 
点为 
的中点，所以 
点的坐标为 
．
设面 
的法向量为 
，而该面上向量 
， 
，由 
， 
得 
， 
， 
应满足方程组 
为其一组解，所以可取 
．
设面 
的法向量为 
，而该面上向量 
， 
，
由此同理可得 
，
所以结合图形知二面角 
的余弦值为 
．
练习册系列答案
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（吨）标准煤的几组对照数据：
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
， 
）