Question

已知函数，x＞0．

　　（Ⅰ）f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数?证明之；

　　（Ⅱ）若当x＞0时，恒成立，求正整数k的最大值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ） 　　　　　　   ∵  ，  ∴  ，，，  ∴  ． 　　　　　　   因此在区间（0，＋∞）上是减函数． 　　（Ⅱ）方法一：当时，恒成立． 　　　　  令，，  ∴  正整数k不大于3． 　　　　  以下证k＝3时，恒成立． 　　　　  即证恒成立． 　　　　  设，则． 　　　　  当x＝e－1时，；当时，；当时，． 　　∴  当x＝e－1时，取得最小值， 　　∴  当时， 　　恒成立． 　　故所求正整数k的最大值为3． 　　方法二：对恒成立．即对x＞0恒成立． 　　记，只需k小于的最小值． 　　 　　　　 ＝ 　　令，， 　　记，则， 　　∴  在（0，＋∞）上增．， 　　，∴  有惟一实根． 　　． 　　从而有 x （0，a） a (a,＋∞) － 0 ＋ 减 极小值 增 　　故在（0，＋∞）的最小值为． 　　，，故所求正整数k的最大值为3．