Question

已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xÎR，f(x+T)=Tf(x)成立．

（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f(x)=ax（a>0，且a¹1）的图像与y=x的图像有公共点，证明：f(x)=axÎM；

（3）若函数f(x)=sinkxÎM，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：对于非零常数T，f(x+T)=x+T，Tf(x)=Tx．因为对任意xÎR，x+T=Tx不能恒成立，所以f(x)=xÎM． （2）证明：因为函数f(x)=ax(a>0且a¹1)的图像与函数y=x的图像有公共点， 所以方程组：有解，消去y，得ax=x， 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T． 于是对于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aT×ax=T×ax=Tf(x)故f(x)=axÎM． （3）解：当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0ÎM．当k¹0时，因为f(x)=sinkxÎM，所为存在非零常数T，对任意xÎR，有f(x+T)=Tf(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx．因为k¹0，且xÎR，kx+kTÎR，于是sinkxÎ[-1，1]，sin(kx+kT)Î[-1，1]，故要使sin(kx+kT)=Tsinkx．成立． 只有T=±1，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx成立，则k=2mp，mÎZ．