Question

已知点M（0，-1），直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B两点．
（1）当m=0时，有，求曲线C的方程；
（2）当实数a为何值时，对任意m∈R，都有成立．
（3）设动点P满足，当a=-2，m变化时，求|OP|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2求得A，B的坐标，利用可求曲线的方程；
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0，假设点A，B的坐标，利用可求；
（3）将条件转化为坐标的形式，从而可表达为关于m的函数，进而求m变化时，|OP|的取值范围
解答：解：（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2可得，
∵，∴，∴a=3
∴曲线C的方程为3x²+y²=2
（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=-2
∴可有3a-1=0，∴
（3）由（2）知
设P（x，y），则（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴
∴|OP|=
令m²-2=t（t≥-2），∴|OP|=
点评：本题的可得时直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查曲线方程的求解，考查直线与曲线方程联立解决位置关系问题，计算量大，由难度．