题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n= $数学公式$
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．

解：（1）因为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n= $\text{[math]}$
所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1= $\text{[math]}$ （n≥2）
两式相减得na_n= $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ =3（n≥2）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以na_n=2•3^n-2（n≥2）
故a_n= $\text{[math]}$
（2）由（1）可知当n≥2n²a_n=2n•3^n-2
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，
∴3T_n=3+4•3¹+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，
两式相减得 $\text{[math]}$ （n≥2）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
所以T_n= $\text{[math]}$
（3）a_n≥（n+1）λ等价于λ≤ $\text{[math]}$ ，
由（1）可知当n≥2时， $\text{[math]}$
设f（n）= $\text{[math]}$ ，
则f（n+1）-f（n）= $\text{[math]}$ ＜0，
∴ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，
∴所求实数λ的取值范围为λ≤ $\text{[math]}$
分析：（1）因为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n= $\text{[math]}$ ，所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1= $\text{[math]}$ （n≥2．所以 $\text{[math]}$ =3（n≥2）．由此能够求出a_n．
（2）由（1）可知当n≥2n²a_n=2n•3^n-2．当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，由错位相减法得到 $\text{[math]}$ （n≥2），又因为T₁=a₁=1也满足上式，所以T_n= $\text{[math]}$ ．
（3）a_n≥（n+1）λ等价于λ≤ $\text{[math]}$ ，当n≥2时， $\text{[math]}$ ，设f（n）= $\text{[math]}$ ，则f（n+1）-f（n）= $\text{[math]}$ ＜0，由此能求出实数λ的取值范围．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．