Question

【题目】如图，斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ， ．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件，证明，得到平面，即可证明；（Ⅱ）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，即可利用向量所成的角，得出直线与平面所成的角.

试题解析：（Ⅰ）连接，因为侧面与侧面都是菱形，

，所以都是等边三角形.

取的中点，连接，则，

又平面， ，所以平面，

又因为平面，

所以.

（Ⅱ）在中， ，若，则有，

所以，

由（Ⅰ）有平面，

以为原点，分别以所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，

则， ， ， ．

，

设平面的一个法向量为，则

整理，得

令，得，

设直线与平面所成的角为，则

.

所以直线与平面所成的角的正弦值为.