题目内容
某玩具厂生产一种儿童智力玩具，每个玩具的材料成本为20元，加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），出厂价为x元（25≤x≤40）．根据市场调查知，日销售量q（单位：个）与ex成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个．
（1）求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；
（2）若t=5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．
（1）求该玩具厂的日利润y元与每个玩具的出厂价x元之间的函数关系式；
（2）若t=5，则每个玩具的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大？并求最大值．
分析：（1）由条件“日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量函数解析式，根据日利润y=每件的利润×件数，即可建立函数关系式；
（2）先对函数进行求导，求出极值点，利用单调性求出函数的最值．
（2）先对函数进行求导，求出极值点，利用单调性求出函数的最值．
解答：解：（1）设日销售量q=
(k≠0)，则
=100，∴k=100e30（2分）
∴日销售量q=
，
∴y=
(25≤x≤40)（6分）
（2）当t=5时，y=
(25≤x≤40)
∴y′=
(25≤x≤40)，（9分）
由y'＞0，得25≤x＜26，由y'＜0，得26＜x≤40，
∴函数在[25，26）上单调递增，在（26，40]上单调递减，
当x=26时，函数取得最大值，最大值为ymax=100e4． （12分）
| k |
| ex |
| k |
| e30 |
∴日销售量q=
| 100e30 |
| ex |
∴y=
| 100e30(x-20-t) |
| ex |
（2）当t=5时，y=
| 100e30(x-20-t) |
| ex |
∴y′=
| 100e30(26-x) |
| ex |
由y'＞0，得25≤x＜26，由y'＜0，得26＜x≤40，
∴函数在[25，26）上单调递增，在（26，40]上单调递减，
当x=26时，函数取得最大值，最大值为ymax=100e4． （12分）
点评：本题考查数学模型和目标函数的建立，解题的关键是把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．
练习册系列答案
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），出厂价为x元
，根据市场调查知，日销售量q（单位：个）与
成反比，且当每个玩具的出厂价为30元时，日销售量为100个。