Question

已知函数f(x)=

ax+1，(0＜x＜a). 3- x a +1，(a≤x＜1)

满足f(a2)=

28

27

．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）解不等式f(x)＞1+

3

27

．

Answer 1

分析：（I）由题意得0＜a＜1，0＜a²＜a，从而得出a3+1 =

28

27

，解之即得a的值；
（II）由（I）得函数f(x)=

1 3 x+1，(0＜x＜ 1 3 ).  3-3x+1，( 1 3 ≤x＜1)

，再对x进行分类讨论：当0＜x＜

1

3

时；当

1

3

≤x＜1时，再结合分段函数的解析式即可得出原不等式的解集．

解答：解：（I）由题意得0＜a＜1，
∴0＜a²＜a，
∴f（a²）=a³+1，又f(a2)=

28

27

，
∴a3+1 =

28

27

，∴a=

1

3

，
（II）由（I）得函数f(x)=

1 3 x+1，(0＜x＜ 1 3 ).  3-3x+1，( 1 3 ≤x＜1)

，
当0＜x＜

1

3

时，原不等式可化成：

1

3

x+1＞1+

3

27

，
⇒x＞

3

9

，又0＜x＜

1

3

，
∴

3

9

＜x＜

1

3

；
当

1

3

≤x＜1时，原不等式可化成：(

1

3

)3x+1＞1+

3

27

，
⇒3-3x＞3-

5

2

⇒-3x＞-

5

2

⇒x＜

5

6

，又

1

3

≤x＜1，
∴当

1

3

≤x＜

5

6

；
综上所述，原不等式的解集为（

3

9

，

5

6

）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、分段函数的解析式求法及其图象的作法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．