Question

（2013•唐山二模）设F₁，F₂分别是椭圆

x2

16

+

y2

12

=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若△PF₁F₂为直角三角形，则△PF₁F₂的面积等于

6

．

Answer 1

分析：若PF₁⊥x轴，或PF₂⊥x轴时，把x=±2代入椭圆方程得

4

16

+

y2

12

=1，解得y即可得到三角形的高，即可得到△PF₁F₂的面积．若P为椭圆短轴的一个顶点(0，2

3

)，在Rt△POF₁中，可得∠F1PF2=60°，故不可能有PF₁⊥PF₂．

解答：解：由椭圆

x2

16

+

y2

12

=1可得：a²=16，b²=12，∴c²=a²-b²=4．
①若PF₁⊥x轴，或PF₂⊥x轴时，把x=±2代入椭圆方程得

4

16

+

y2

12

=1，解得y=±3，∴h=3，
∴△PF₁F₂的面积=

1

2

|F1F2| ×h=

1

2

×4×3=6．
②若P为椭圆短轴的一个顶点(0，2

3

)，
在Rt△POF₁中，tan∠OPF₁=

2

2 3

=

3

3

，∴∠OPF1=30°，∴∠F1PF2=60°，
当P为位置时，∠F1PF2≤60°，故不可能有PF₁⊥PF₂．
故答案为6．

点评：熟练掌握分类讨论思想方法、三角形面积的计算公式、点与椭圆的关系是解题的关键．