Question

【题目】在四棱锥中，底面是等腰梯形,,是等边三角形，点在上.且.

（I）证明:平面;

(Ⅱ)若平面⊥平面,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.

(Ⅱ)

【解析】试题分析：

（Ⅰ）连,交于点，连．在等腰梯形中，可得,故,又可得,故,因此,然后根据线面平行的判定可得结论成立．（Ⅱ）取中点，中点,连,可证得两两垂直，可建立空间直角坐标系．然后令设，进而确定出相关点的坐标，然后求得平面和平面的法向量，由两法向量的夹角可得二面角的余弦值．

试题解析：

（Ⅰ）连,交于点，连.

∵在等腰梯形中，,

,

,

,

,

,

,

又平面，平面,

∴平面.

（Ⅱ）取中点，中点,连,显然.又平面平面,平面平面,所以平面.由于分别为中点，且在等腰梯形中，,则．

以为原点建立下图所示空间直角坐标系.

设，则

∴，

∴，

设平面的一个法向量为，

可得，

令，可得，则.

设平面的一个法向量为，

可得，

令，可得，则.

∴，

由图形知，二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为.