题目内容

已知a₁=1数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0
（1）求a_n（ 2 ） $数学公式$ ．

解：（1）∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，即na_n+1=3S_n①
∴（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②
①-②得na_n+1=（n+2）a_n（n≥2）
∴a_n= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×…× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （n≥2），
a₁=1也适合上式，
∴a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
（2）b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
∴T_n=2（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由nS_n+1-（n+3）S_n=0①下推一项可得（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）②，两式作差可求得na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），利用累乘法可求得a_n；
（2）由（1）可求得a_n= $\text{[math]}$ （n∈N^*），利用裂项法可得b_n= $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），继而可求得T_n．
点评：本题考查数列的求和，突出累乘法求通项与裂项法求和的应用，由nS_n+1-（n+3）S_n=0下推一项可得（n-1）a_n=3S_n-1（n≥2）后作差是解决问题的关键，考查观察与分析问题、解决问题的能力，属于中档题．

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6、数列{a_n}，已知a₁=1，当n≥2时a_n=a_n-1+2n-1，依次计算a₂、a₃、a₄后，猜想a_n的表达式是（　　）

设数列{a}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．已知a₁=1，d=2，
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的最小值；
（2）当n∈N^*时，求证：

（任选一题）
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(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=

(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？
并证明你的结论．

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（1）求A与B的值．
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（2012•泸州模拟）在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

，若不等式3^m-2≥a_n对任何3^m-2≥a_n对任何n∈N^*恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，+∞）

B．（0，+∞）

C．（-∞，1]

D．（1，+∞）