Question

设数列{a}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．已知a₁=1，d=2，
（1）求当n∈N^*时，

Sn+64

n

的最小值；
（2）当n∈N^*时，求证：

2

S1S3

+

3

S2S4

+

4

S3S5

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的求和公式，求得S_n，进而利用基本不等式，可求

Sn+64

n

的最小值；
（2）利用裂项法求和，再利用放缩法，可得结论．

解答：（1）解：∵a₁=1，d=2，∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2
∴

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16（当且仅当n=8时取等号）．
∴

Sn+64

n

的最小值为16．…（6分）
（2）证明：由①知Sn=n2，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]…（8分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+

4

S3S5

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

[（

1

12

-

1

32

）+（

1

22

-

1

42

）+…+（

1

n2

-

1

(n+2)2

）]…（10分）
=

1

4

[1+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]＜

1

4

(1+

1

4

)=

5

16

即

2

S1S3

+

3

S2S4

+

4

S3S5

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

．…（13分）

点评：本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查裂项法，属于中档题．