Question

已知函数（，为自然对数的底数）.
（1）求函数的最小值；
（2）若≥0对任意的恒成立，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，证明：

Answer 1

（1）其最小值为（2）（3）由累加即可得证.

试题分析：（1）由题意，
由得.
当时, ；当时，.
∴在单调递减，在单调递增.
即在处取得极小值，且为最小值，
其最小值为     
（2）对任意的恒成立，即在上，.
由（1），设，所以.
由得.
易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴ 在处取得最大值，而.
因此的解为，∴.     
（3）由（2）知，对任意实数均有，即.
令 ，则.
∴ .
∴
   
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．