Question

已知函数f（x）的导函数为f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为（　　）

• A、（0，1）
• B、(1 ， 

  2

  )
• C、(-2 ， -

  2

  )
• D、(1，

  2

  )∪(-

  2

   ， -1)

Answer 1

分析：先根据f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0判断f（x）在（-1，1）上单调递增，进而根据函数的导函数求得函数f（x）的解析式，判断出函数f（x）为奇函数，进而根据f（1-x）+f（1-x²）＜0，建立不等式组，求得x的范围．

解答：解：∵f′（x）=2+cosx＞0，f（0）=0
∴f（x）在（-1，1）上单调递增
∵f（x）=2x+sinx，从而得f（x）是奇函数；
所以f（1-x）＜-f（1-x²）=f（x²-1）即有

1-x＜x2-1 -1＜1-x＜1 -1＜x2-1＜1

解得1＜x＜

2

故选B．

点评：函数、导数、不等式的综合问题是代数中常见的问题，综合性强，主要考查推理能力．