Question

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]内有且只有一个根x=

1

2

，则f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数为（　　）

A．2013

B．1006

C．2011

D．1007

Answer 1

∵f（x）=f（-x+2），∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1-x）=f（1+x）．
又f（x+1）=f（x-1），∴f（x-1）=f（1-x），即f（x）=f（-x），故函数f（x）为偶函数．
再由f（x+1）=f（x-1），令x+1=t，则有f（t）=f（t+2），
从而可得f（x+2）=f（x），故函数f（x）是周期等于2的周期函数．
由于f（

1

2

）=0，∴f（-

1

2

）=0，
∴f（

3

2

）=f（2-

3

2

）=f（

1

2

）=0，
故函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，且函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
f（x）=0在区间[-1005，1006]内根的个数为2011，
故选C．