Question

（2013•静安区一模）已知f（x）=log

1

2

x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设Hn(x)=2gn(x)，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根据点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动可得y=log₂x，点N（x-2，ny）函数y=g_n（x）的图象上运动可得 g_n（x-2）=ny故 g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=g_n（x）的表达式．
（2）由（1）可得要使关于x的方程 g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，a∈R，可得：（x+2）²=x+a在x＞-2有实根即a=（x+2）²-x在x＞-2有实根即只需求出（x+2）²-x在x＞-2的范围即为a的范围．
（3）由（1）可得F（x）=

1

x+2

+log 

1

2

（x+2）（x＞-2）再根据）

1

x+2

和log 

1

2

（x+2）的单调性得出F（x）的单调性，从而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域为[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]可列出等式求出a，b的值．

解答：解：（1）由

y=f(x) ny=gn(x-2)

，
得gn(x-2)=nf(x)=nlog

1

2

x，
所以gn(x)=nlog

1

2

(x+2)，（x＞-2）．（4分）
（2）log

1

2

(x+2)=2log

1

2

(x+a)，
即

x+2

=x+a（x+2＞0）（6分）
a=-x+

x+2

，令t=

x+2

＞0，
所以a=-t2+t+2≤

9

4

，
当x=-

7

4

时，a=

9

4

．
即实数a的取值范围是(-∞，

9

4

]（10分）
（3）因为Hn(x)=2nlog

1

2

(x+2)=

1

(x+2)n

，
所以F(x)=

1

x+2

+log

1

2

(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是减函数．（12分）
所以

F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

即

1 a+2 +log 1 2 (a+2)=log2 4 2 a+2 1 b+2 +log 1 2 (b+2)=log2 5 2 b+2

，
所以

a=2 b=3

（16分）

点评：本题主要考查了求函数的解析式以及求利用函数的单调性求函数的值域．解题的关键是首先要利用点M点N所满足的关系式求出y=g_n（x）的表达式（这种方法也叫相关点法求函数的解析式）然后作为桥梁再求解第二问，而对于第二问要求a的范围常采用将a解出来转化为球已知函数的值域问题．第三问是在第一问的基础上求出F（x）然后利用其单调性求其值域．因此第一问为下面两问做了铺垫股第一问的正确解答就显得尤为重要了！