Question

一人在如图所示景点中的圆环道路上散步．他在交叉路口偏左走的概率为

1

2

，偏右走的概率为

1

2

（出口处不算交叉路口）．
（Ⅰ）求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率；
（Ⅱ）这个人有3天散步路过的交叉路口都最少，ξ表示这个人这3天中相同的线路次数，求ξ的分布列和数学期Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图可知，此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，即可求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率；
（Ⅱ）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求分布列和数学期Eξ．

解答：解：（Ⅰ）由图可知，此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4，共分：①入口⇒向左⇒向左⇒向左⇒向左⇒出口，②入口⇒向左⇒向右⇒向右⇒向左⇒出口，③入口⇒向右⇒向左⇒向左⇒向右⇒出口，④入口⇒向右⇒向右⇒向右⇒向右⇒出口，一共4条线路．设此人选择这4条线路分别为事件A、B、C、D，设“此人遇到的交叉路口数为4”为事件E，则A、B、C、D互斥，且E=A+B+C+D
由题意，P（A）=P（B）=P（C）=P(D)=(

1

2

)4=

1

16

，
∴P(E)=P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=4×

1

16

=

1

4

．
答：这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为

1

4

．…6分
（Ⅱ）由题意，ξ=0，1，2，…7分
P(ξ=0)=

4×3×2

4×4×4

=

6

16

，P(ξ=1)=

C

2 3

•

4×3

4×4×4

=

9

16

，P(ξ=2)=

4

4×4×4

=

1

16

，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
p	6 16	9 16	1 16

∴Eξ=0×

6

16

+1×

9

16

+2×

1

16

=

11

16

．…13分．

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．