Question

13．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，且过点$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）斜率为k且过点P（1，2）的直线l与双曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试判断以Q（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，且过点$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的标准方程；
（2）设直线l的方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，与双曲线方程联立，利用直线l与双曲线C有两个公共点，建立不等式，即可求k的取值范围；
（3）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确．

解答 解：（1）∵双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，且过点$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}-\frac{2}{{b}^{2}}=1$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线C的标准方程为${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$----------------------------（3分）
（2）设直线l的方程为y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2-k\\ 2{x^2}-{y^2}=2.\end{array}\right.$得（k²-2）x²-2（k²-2k）x+k²-4k+6=0．----------------（5分）
∵直线l与C有两个公共点，
∴得$\left\{\begin{array}{l}{k^2}-2≠0\\△=4{（{k^2}-2k）^2}-4（{k^2}-2）（{k^2}-4k+6）＞0.\end{array}\right.$
解之得：k＜$\frac{3}{2}$且$k≠±\sqrt{2}$．
∴k的取值范围是$（-∞，-\sqrt{2}）∪（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）∪（\sqrt{2}，\frac{3}{2}）$．-----------------------------（8分）
（3）设以Q（1，1）为中点的弦存在，该直线与双曲线交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点
$\left\{\begin{array}{l}2x_1^2-y_1^2=2\\ 2x_2^2-y_2^2=2\end{array}\right.$，作差得k_MN=2--------------------------------------------------（11分）
由（2）可知，k=2时，直线l与C没有两个公共点，
∴设以Q（1，1）为中点的弦不存在．----------------------------（12分）

点评 本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了双曲线的方程，考查判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题．