题目内容
（2013•成都二模）巳知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）（a＞b＞0）以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点，与直线x=-4相交于Q点，P是 椭圆E上一点且满足
=
+
（其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得
•
为定值？若存在，求出点了的坐标及
•
的值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点，与直线x=-4相交于Q点，P是 椭圆E上一点且满足
| OP |
| OA |
| OB |
| OP |
| TQ |
| OP |
| TQ |
分析：（I）利用椭圆以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为
，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论．
| 1 |
| 2 |
（II）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论．
解答：
解：（I）抛物线y2=8x的焦点即为椭圆E的顶点，即a=2，
∵离心率为
，∴
=
∴c=1，∴b=
=
∴椭圆E的方程为
+
=1；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线方程代入椭圆方程，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0
∴x1+x2=
，y1+y2=
∴P（
，
）代入椭圆方程可得
+
=1
∴4m2=4k2+3
设T（t，0），Q（-4，m-4k），
∴
=（-4-t，m-4k），
=（
，
）
∴
•
=
×（-4-t）+
×（m-4k）=
∵4m2=4k2+3
∴
•
=
+
∴要使
•
为定值，只需[
]2=
为定值
∴1+t=0
∴t=-1
∴在x轴上存在一点T（-1，0），使得
•
=
．
解：（I）抛物线y2=8x的焦点即为椭圆E的顶点，即a=2，∵离心率为
| 1 |
| 2 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴c=1，∴b=
| a2-c2 |
| 3 |
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线方程代入椭圆方程，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0
∴x1+x2=
| -8km |
| 4k2+3 |
| 6m |
| 4k2+3 |
∴P（
| -8km |
| 4k2+3 |
| 6m |
| 4k2+3 |
(
| ||
| 4 |
(
| ||
| 3 |
∴4m2=4k2+3
设T（t，0），Q（-4，m-4k），
∴
| TQ |
| OP |
| -8km |
| 4k2+3 |
| 6m |
| 4k2+3 |
∴
| OP |
| TQ |
| -8km |
| 4k2+3 |
| 6m |
| 4k2+3 |
| 6m2+8km+8kmt |
| 4k2+3 |
∵4m2=4k2+3
∴
| OP |
| TQ |
| 3 |
| 2 |
| 2k(1+t) |
| m |
∴要使
| OP |
| TQ |
| 2k(1+t) |
| m |
| (4m2-3)(1+t) |
| m2 |
∴1+t=0
∴t=-1
∴在x轴上存在一点T（-1，0），使得
| OP |
| TQ |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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