Question

【题目】在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图所示的五棱锥，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得，再根据翻折关系得，结合线面垂直判定定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）分别延长和相交于点，过点做，根据计算得，即得平面，利用三垂线定理及其逆定理证得为平面与平面所成二面角的平面角.最后解直角三角形得二面角的余弦值.

试题解析：（1）因为点分别是边的中点，所有，

因为菱形的对角线互相垂直，所以，故.

翻折后即有

因为平面，平面，，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）分别延长和相交于点，连，设，连接，∵

∴为等边三角形.∴，，，，在中，，在中，，∴，

∵，∴平面，

又，∴平面，

过点做，连，则为平面与平面所成二面角的平面角.

在中，，，，∴，

∴，

∴.