Question

已知△ABC,点D与A在BC的同侧,且∠A=∠D,

求证:A、B、C、D四点共圆.

 

 

Answer 1

           图2-2-16

证明:如图2-2-16,作△ABC的外接圆⊙O.

(1)假设D在⊙O外部,⊙O与BD交于E点,连结CE.

∵=,∴∠A=∠BEC.

又∠D=∠A,∴∠BEC=∠D.

这与三角形的外角大于任何一个不相邻的内角相矛盾.

故点D不在⊙O外部.

(2)假设D在⊙O内部,延长BD交⊙O于E,连结CE,如图2-2-17,

图2-2-17

则有∠A=∠E.

又∠A=∠BDC,

∴∠BDC=∠E.

同样产生矛盾.

∴点D不能在圆内.

综上所述,点D只能在圆周上,即A、B、C、D四点共圆.