Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）验证当n=1时，x²-a₁x-a₁=0有一根为a₁根据根的定义，可求得a₁，同理，当n=2时，也可求得a₂；
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．
解答：解：（1）当n=1时，x²-a₁x-a₁=0有一根为S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=．
当n=2时，x²-a₂x-a₂=0有一根为S₂-1=a₂-，
于是（a₂-）²-a₂（a₂-）-a₂=0，
解得a₂=．
（2）由题设（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式得S_n-1S_n-2S_n+1=0．①
由（1）得S₁=a₁=，S₂=a₁+a₂=+=．
由①可得S₃=．由此猜想S_n=，n=1，2，3，．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即S_k=，当n=k+1时，由①得S_k+1=，即S_k+1=，故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知S_n=对所有正整数n都成立．
点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n的自然数n都成立