Question

（满分12分）已知椭圆的一个顶点为B，离心率，
直线l交椭圆于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（II）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程．

Answer 1

（1）； （2）．

解析试题分析：（1）由已知，且，即，
∴，解得，∴椭圆的方程标准为；
（2）椭圆右焦点F的坐标为，

设线段MN的中点为Q，
由三角形重心的性质知，又，
∴，故得，
求得Q的坐标为；
设，则，
且，
以上两式相减得，
，
故直线MN的方程为，即．
考点：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线方程。
点评：中档题，涉及椭圆的题目，在近些年高考题中是屡见不鲜，往往涉及求椭圆标准方程，研究直线与椭圆的位置关系。求椭圆的标准方程，主要考虑定义、a,b,c,e的关系，涉及直线于椭圆位置关系问题，往往应用韦达定理。本题利用“点差法”较方便的得到了直线的斜率，进一步确定得到直线方程。