Question

已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3．设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）记点F（﹣2，0），曲线E上的任意一点C（x₁，y₁）满足：x₁＜﹣1，x₁≠﹣2且y₁＞0．
①求证：∠CFB=2∠CBF；
②设过点C的直线x=my+b与轨迹E相交于另一点D（x₂，y₂）（x₂＜﹣1，y₂＜0），若∠FCB与∠FDB互补，证明代数式3m²﹣4b的值为定值，并求出此定值．

Answer 1

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），
∴ ， ，
∵PA与PB的斜率之积为3，
∴ ，x≠±1，
∴ ．
（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角， 
则tanα= ，tanβ= ， ，
∴tan2β= = = =tanα．
②由题意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，
联立 ，得（3m²﹣1）y²+6mby+3b²﹣3=0，
则△=12（b²+3m²﹣1）＞0， ， ，
∵k= ，∴ ，∴3m²﹣1＜0，
故 ，
设∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵ ，tan ， ，
∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），
∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，
由到角公式，得 = ， ∴ = ，
即 ，
∴3m²﹣1=4b+4，
∴3m²﹣4b=5（定值）．