Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，底面是边长为2的正三角形，M、N、G分别是棱长CC₁、AB、BC的中点．
（1）求证：CN∥平面AMB₁；
（2）若CC₁=2，求证：B₁M⊥平面AMG．

Answer 1

【答案】分析：（1）连A₁B，与AB₁相交于P，则点P为A₁B的中点，易证四边形MCNP为矩形，利用线面平行的判定定理即可；
（2）首先证明AG⊥B₁M，再由勾股定理证得AM⊥B₁M，利用线面垂直的判定定理即可证得B₁M⊥平面AMG．
解答：解：（1）证明：连A₁B，与AB₁相交于P，则点P为A₁B的中点，连MP，PN则PNBB₁=MC，又CC₁⊥底面ABC，
∴四边形MCNP为矩形，
∴CN∥MP，MP?平面AMB₁，CN?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁；
（2）∵CC₁⊥底面ABC，CC₁?平面BCC₁B₁，
∴底面ABC⊥平面BCC₁B₁，
又∵底面ABC是边长为2的正三角形，G是BC的中点，
∴AG⊥BC，底面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，
∴AG⊥平面BCC₁B₁，B₁M?平面BCC₁B₁，
∴AG⊥B₁M①．
∵CC₁=2，△ABC是边长为2的正三角形，在△AMB₁中，|B₁M|=|AM|==，
|AB₁|===2，
∴=+|AM|²，
∴AM⊥B₁M②而AM∩AG=A，
∴B₁M⊥平面AMG．
点评：本题考查直线与平面平行的判定与直线与平面垂直的判定，熟练掌握直线与平面平行与垂直的判定定理是解题证题的关键，属于中档题．，