Question

过点C（12，16）作圆x²+y²=100的两条切线，切点为A、B，则点C到直线AB的距离为（　　）

• A、5
• B、

  15

  2

• C、10
• D、15

Answer 1

分析：根据题意，以C为圆心、CA长为半径作圆C，可得B点在圆C上，因此直线AB是圆O与圆C的公共弦所在直线．利用圆的切线性质与勾股定理算出圆C的半径，得到圆C的方程进而求出直线AB的方程，最后利用点到直线的距离公式加以计算，可得点C到直线AB的距离．

解答：解：圆x²+y²=100的圆心为O（0，0），半径r=10．
连结OA、OB、OC，可得|OC|=

122+162

=20，
∵AC切圆O与点A，
∴OA⊥AC，
|AC|=

|OC|2-|OA|2

=10

3

，
因此，以C为圆心、CA半径的圆方程为（x-12）²+（y-16）²=300，
∵CA、CB为经过点C的圆O的两条切线，
∴|AC|=|BC|，可得点B也在圆C上，因此AB是圆O与圆C的公共弦，
将圆O与圆C的方程相减，得3x+4y-25=0，
可得点C到直线AB的距离d=

|3×12+4×16-25|

32+42

=15．
故选：D

点评：本题给出圆O的经过点C的两条切线，求切点弦所在直线与点C的距离．着重考查了圆的切线的性质、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．