Question

已知定圆A：（x+1）²+y²=16，圆心为A，动圆M过点B（1，0）且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若点P（x₀，y₀）为曲线C上一点，求证：直线l：3x₀x+4y₀y-12=0与曲线C有且只有一个交点．

Answer 1

分析：（I）依据条件判断定圆和动圆相内切，再依据椭圆的定义写出曲线C的方程．
（II）分类讨论，当y₀=0时，检验直线l：3x₀x+4y₀y-12=0与曲线C有且只有一个交点，当y₀≠0时，把直线和椭圆方程联立方程组，利用点P（x₀，y₀）为曲线C上一点，求出只有一个解，并说明直线和椭圆只有唯一交点．

解答：解：（I）圆A的圆心为A（-1，0），半径r₁=4，
设动圆M的圆心M（x，y），半径为r₂，依题意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
故曲线C的方程为

x 2

4

+

y2

3

=1.（6分）
（II）解：当y0=0时，由

x 4 0

4

+

y 2 0

3

=1，可得x0=±2，当x₀=2，y₀=0时，直线l的方程为x₀=2，
直线l与曲线C有且只有一个交点（2，0）．
当x₀=-2，y₀=0时，直线l的方程为x₀=-2，
直线l与曲线C有且只有一个交点（-2，0）．
当y0≠0时，直线l的方程为y=

12-3x0x

4y0

，
联立方程组：

y= 12-3x0x 4y0 x2 4 + y2 3 =1.

消去y，得（4y₀²+3x₀³）x²-24x₀x+48-16y₀²=0．①
由点P（x₀，y₀）为曲线C上一点，得

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．?可得4

y

2 0

+3

x

2 0

=12.
于是方程①可以化简为x²-2x₀x+x₀²=0．解得x=x₀，
将x=x0代入方程y=

12-3x0x

4y0

可得y=y0，
故直线l与曲线C有且有一个交点P（x₀，y₀），
综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P（x₀，y₀）．（13分）

点评：本题考查两圆的位置关系、用定义法求轨迹方程，直线和椭圆位置关系的综合应用．