Question

如图，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2py（p为正常数）上的两个动点，直线AB与x轴交于点p，与y轴交于点Q，且y₁y₂=．
（Ⅰ）求证：直线AB过抛物线C的焦点；
（Ⅱ）是否存在直线AB，使得+=？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0，b＞0），由，得x²-2pkx-2pb=0．由此能够证明直线AB过抛物线C的焦点．
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得，即．作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′、B′，故．由此能够求出直线AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零．
设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0，b＞0）
由，得x²-2pkx-2pb=0．
∴，（4分）
∴．
∵，∴，
∵b＞0，∴．
∴直线AB的方程为：．
抛物线C的焦点坐标为，
∴直线AB过抛物线C的焦点．（8分）
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得，即．
作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′、B′，
∴．（11分）
∵，，
∴==4k²+2．
由4k²+2=3，得．
故存在直线AB，使得．
直线AB方程为．（15分）
点评：本题考查直线经过抛物线焦点坐标的证明，考查直线方程的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．