Question

如图，A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2py（p为正常数）上的两个动点，直线AB与x轴交于点p，与y轴交于点Q，且y₁y₂=

p2

4

．
（Ⅰ）求证：直线AB过抛物线C的焦点；
（Ⅱ）是否存在直线AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0，b＞0），由

y=kx+b x2=2py

，得x²-2pkx-2pb=0．由此能够证明直线AB过抛物线C的焦点．
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

，即

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=3．作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′、B′，故

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=

|OQ|

|AA/|

+

|OQ|

|BB/|

=

p 2

y1

+

p 2

y2

=

p

2

•

y1+y2

y1y2

．由此能够求出直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零．
设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0，b＞0）
由

y=kx+b x2=2py

，得x²-2pkx-2pb=0．
∴

△=4p2k2+8pb＞0 x1+x2=2pk x1x2=-2pb

，（4分）
∴y1y2=

x 2 1

2p

•

x 2 2

2p

=

(-2pb)2

4p2

=b2．
∵y1y2=

p2

4

，∴b2=

p2

4

，
∵b＞0，∴b=

p

2

．
∴直线AB的方程为：y=kx+

p

2

．
抛物线C的焦点坐标为(0，

p

2

)，
∴直线AB过抛物线C的焦点．（8分）
（Ⅱ）假设存在直线AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

，即

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=3．
作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′、B′，
∴

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=

|OQ|

|AA/|

+

|OQ|

|BB/|

=

p 2

y1

+

p 2

y2

=

p

2

•

y1+y2

y1y2

．（11分）
∵y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，y1y2=

p2

4

，
∴

|PQ|

|PA|

+

|PQ|

|PB|

=

p

2

•

2pk2+p

p2 4

=4k²+2．
由4k²+2=3，得k=±

1

2

．
故存在直线AB，使得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

3

|PQ|

．
直线AB方程为y=±

1

2

x+

p

2

．（15分）

点评：本题考查直线经过抛物线焦点坐标的证明，考查直线方程的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．