Question

（2012•江西模拟）已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x₁，x₂，且方程f（x）=m有两个不同的实根x₃，x₄，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为

-

3

2

．

Answer 1

分析：函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x₁，x₂，可知x₁=

π

2

，x₂=

3

2

π，因为方程f（x）=m有两个不同的实根x₃，x₄，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0，再利用等差数列的性质进行求解；

解答：解：函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x₁，x₂，
∴x₁=

π

2

，x₂=

3

2

π，∵方程f（x）=m有两个不同的实根x₃，x₄，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，
若m＞0则，x₃，

π

2

，

3

2

π，x₄，构成等差数列，可得公差d=

3π

2

-

π

2

=π，则x₁=

π

2

-π=-

π

2

＜0，显然不可能；
若m＜0则，

π

2

，x₃，x₄，

3

2

π，构成等差数列，可得公差3d=

3π

2

-

π

2

，解得d=

π

3

，∴x₃=

π

2

+

π

3

，m=cosx₃=

5π

6

=-

3

2

，
故答案为：-

3

2

；

点评：此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；