Question

设为实数，函数．
（1）求的单调区间与极值；
（2）求证：当且时，．

Answer 1

(1)在上减,在上增;当时,取极小值（2）见解析

试题分析：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．
（1）由，知，令，得到
，列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．
（2）设，于是，由（1）知当a＞ln2-1时，最小值为.于是对任意x∈R，都有，所以g（x）在单调递增．由此能够证明.
试题解析：（1）由，知，令，得到
，故在上单调递增，在上单调递减，当时,
，即取极小值
（2）设函数,则,由（1）知的极小值也是最小值为，当时，，即在内，的最小值，恒成立，即在内，在单调递增，即即