Question

双曲线

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线x+y=1相交于两个不同的点，则双曲线离心率e的取值范围是

(

6

2

，

2

)∪(

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围．

解答：解：由直线与双曲线相交于两个不同的点，
故知方程组

x2 a2 -y2=1  x+y=1

有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以：

1-a2≠0 △=4a4-4(1-a2)(-2a2)＞0

；
解得0＜a＜

2

且a≠1．
双曲线的离心率 e=

1+a2

a

=

1+a2 a2

=

1+ 1 a2

；
∵0＜a＜

2

且a≠1．
∴离心率e的取值范围为：（

6

2

，

2

）∪（

2

，+∞）．
故答案为：（

6

2

，

2

）∪（

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．