Question

以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 ________．

Answer 1

+=1
分析：设出椭圆的方程为 +=1，求出离心率的平方，将直线方程代入椭圆方程得得到的关于x的一元二次方程的判别式大于0，求出 b² 的最小值，此时的离心率最大，离心率最大的椭圆方程可得．
解答：由题意知，c=1，a²-b²=1，故可设椭圆的方程为 +=1，
离心率的平方为 ①，∵直线x-y+3=0与椭圆有公共点，将直线方程代入椭圆方程得
（2b²+1）x²+6（b²+1）x+8b²+9-b⁴=0，由△=36（b⁴+2b²+1）-4（2b²+1）（ 8b²+9-b⁴ ）≥0，
∴b⁴-3b²-4≥0，∴b²≥4，或 b²≤-1 （舍去），∴b² 的最小值为4，
∴①的最大值为 ，此时，a²=b²+1=5，
∴离心率最大的椭圆方程是 +=1，
故答案为：+=1．
点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，利用直线和椭圆有交点可得判别式大于或等于0．