Question

下列不等式不一定成立的是（　　）

• A、a²+b²≥2ab，（a，b∈R）
• B、a²+3＞2a，（a，b∈R）
• C、|x+

  1

  x

  |＞2，（x＞0）
• D、

  a+b

  2

  ≤

  a2+b2 2

  ，（a，b∈R）

Answer 1

分析：通过作差变形判断符号可得A、B、D一定成立，在 x≠1和0时，|x+

1

x

|＞2成立，x=1时，|x+

1

x

|＞2不成立．

解答：解：∵a²+b²-2ab=（a-b）²≥0，∴a²+b²≥2ab一定成立．
∵a²+3-2a=（a-1）²+2＞0，故a²+3＞2a一定成立．
∵x=1时，|x+

1

x

|=2，x≠1和0时，|x+

1

x

|＞2成立，故|x+

1

x

|＞2不一定成立．
∵

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=

(a-b)2

4

≥0，故

a+b

2

≤

a2+b2 2

一定成立．
故选C．

点评：本题考查不等式的性质，用比较法证明不等式，用作差法比较两个数的大小是一种重要的方法．