Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD、ADEF、ABGF均为全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（I）求证：CE∥平面ABGF；
（II）设BC=1，求点B到平面CEG的距离．

Answer 1

分析：（I）连接BF，由BC和EF平行且相等，证明四边形BCEF为平行四边形，故有CE∥BF．再利用直线和平面平行的判定定理证得得CE∥平面ABGF．
（Ⅱ）设点B到平面CEG的距离为h，则点B到平面CEG的距离等于点F到平面CEG的距离，由等体积法可得

1

3

×S_△CEG×h=

1

3

×S_△EFG×FA．求得S_△CEG和S_△EFG的值以及FA的值，即可求得h的值，即为所求．

解答：解：（I）连接BF，由题意可得BC和EF平行且相等，故四边形BCEF为平行四边形，故有CE∥BF．
再根据BF?平面ABGF，CE不在平面ABGF 内，可得CE∥平面ABGF．
（Ⅱ）设点B到平面CEG的距离为h．
由（Ⅰ）知：BF∥CE，可得BF∥平面CEG，
故点B到平面CEG的距离等于点F到平面CEG的距离，
所以V_B-CEG=V_F-CEG=V_C-EFG =

1

3

×S_△CEG×h=

1

3

×S_△EFG×FA．
依题意，在△CGE中，CG=

6

，CE=2

2

，GE=

2

，
因为CG²+GE²=CE²，所以S_△CEG=

1

2

CG×GE=

3

．
在Rt△EFG中，S_△EFG=

1

2

，又FA=2，∴由

1

3

×S_△CEG×h=

1

3

×S_△EFG×FA，可得

1

3

×

3

×h=

1

3

×

1

2

×2，
由此求得点B到平面CEG的距离为h=

3

3

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．