Question

(本小题满分18分)在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．

Answer 1

解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．

（Ⅱ）设，其坐标满足

   消去y并整理得，

故．

若，即． 而，

于是，

化简得，所以．

（Ⅲ）

                  ．

因为A在第一象限，故．由知，从而．又，

故，

即在题设条件下，恒有．