题目内容

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=1-a_n
（1）证明{a_n}是等比数列．
（2）设 $数学公式$
（3）求证： $数学公式$ ．

解：（1）证明
当n=1时， $\text{[math]}$
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）∴ $\text{[math]}$ ，故{a_n}是等比数列
（2）由（1）知{a_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项，以 $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，
∴a_n=2^-n∴ $\text{[math]}$
∴b₁+b₂+…+b_n=（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$
分析：（1）利用数列中a_n与 Sn关系 $\text{[math]}$ 求{a_n}的通项，根据定义去证明．
（2）按照对数运算，得出 $\text{[math]}$ ，代入b₁+b₂+…+b_n根据式子规律，从第二项起，相邻两项正负相消，进行求和与证明．
点评：本题主要考查数列中a_n与 Sn关系 $\text{[math]}$ ，对数运算、数列求和，不等式证明．属于中档题．

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