Question

【题目】如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且,（1）证明：平面ABEF平面BCDE； （2）求DE与平面ABC所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接AC、BE，交点为G，推导出从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系，利用向量法能求出FE与平面ABC所成角的正弦值．

试题解析：

（１）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，易知，且，

在多面体中，由，知，故

又 平面，故平面，

又平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE．

（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系．

由， ， ，

则

.

， ，

，

设平面ABC的法向量为，

则，即，令 ，得，

所以，

所以FE与平面ABC所成角的正弦值为