Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|ax+2|，a∈R．
（1）若f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式f（x）＞|x+3|+5．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=|ax+2|，f（x）≥6，知ax≥4，或ax≤-8．由f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），利用a的符号进行分类讨论，能求出a．
（2）由（1）知|-4x+2|＞|x+3|+5等价于

x≤-3 -4x+2＞-x-3+5

，或

-3＜x≤ 1 2 -4x+2＞x+3+5

，或

x＞ 1 2 4x-2＞x+3+5

，由此能求出不等式f（x）＞||x+3|+5的解集．

解答：解：（1）∵f（x）=|ax+2|，f（x）≥6，
∴ax≥4，或ax≤-8．
当a=0时，不合题意．
当a＞0时，x≤-

8

a

，或x≥

4

a

．
∵f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），
∴

- 8 a =-1 4 a =2

，此方程无解；
当a＜0时，x≤

4

a

，或x≥-

8

a

．
∵f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），
∴

- 8 a =2 4 a =-1

，解得a=-4．
故a=-4．
（2）由（1）知f（x）＞|x+3|+5，
∴|-4x+2|＞|x+3|+5，
∴

x≤-3 -4x+2＞-x-3+5

，或

-3＜x≤ 1 2 -4x+2＞x+3+5

，或

x＞ 1 2 4x-2＞x+3+5

，
∴x≤-3，或-3＜x＜-

6

5

，或x＞

10

3

．
∴x＜-

6

5

，或x＞

10

3

．
∴不等式f（x）＞||x+3|+5的解集是{x|x＜-

6

5

，或x＞

10

3

}．

点评：本题考查含绝对值不等式的解法，考查推理论证能力，考查分类讨论思想，考查等价转化思想，考查函数方程思想．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．