Question

函数f（x）=ln（x+1）-mx在区间（0，1）上恒为增函数，则实数m的取值范围是

m≤

1

2

．

Answer 1

分析：依题意得，f′（x）=

1

x+1

-m≥0在[0，1]上恒成立，只需m≤（

1

x+1

）_min即可，利用f′（x）=

1

x+1

-m在[0，1]上单调递减，即可求得相应的（

1

x+1

）_min．

解答：解：∵f（x）=ln（x+1）-mx在区间（0，1）上恒为增函数，
∴f′（x）=

1

x+1

-m≥0在[0，1]上恒成立，
∴m≤（

1

x+1

）_min．
∵f′（x）=

1

x+1

在[0，1]上单调递减，
∴（

1

x+1

）_min=

1

2

．
∴m≤

1

2

．
故答案为：m≤

1

2

．

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，考查函数在闭区间上的恒成立问题，考查转化与运算的能力，属于中档题．