Question

（2005•武汉模拟）已知函数f（x）=ln（x-2）-

x2

2a

（a为常数且a≠0）
（1）求导数f′（x）；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）本题中的函数是两个函数的和，故宜用和的导数法则求其导数．
（2）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，通过讨论x的范围与定义域的关系，求出递增区间和递减区间

解答：解：（1）f′（x）=

1

x-2

-

x

a

；
（2）f（x）的定义域为（2，+∞）（1分）
f′（x）=

1

x-2

-

x

a

；（2分）
令f'（x）＞0得：
当a＜0时，f（x）在（2，+∞）时f'（x）＞0恒成立；
当a＞0时，解得：2＜x＜1+

1+a

）
令f'（x）＞0得：
当a＜0时，f（x）在（2，+∞）时f'（x）＜0不成立；
当a＞0时，解得：x＞1+

1+a

，
故当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上为增函数；
当a＞0时，f（x）在（2，1+

1+a

）上为增函数，在（1+

1+a

，+∞）上为减函数．

点评：本题考查本题考查导数乘法与除法法则，考查利用导数的求导法则求导的能力以及根据题型选择公式的能力，考查了利用导函数求函数的单调性、分类讨论的数学思想方法在解题中的应用．