Question

（2010•泰安一模）已知函数f(x)=

4cos4x-2cos2x-1

sin( π 4 +x)sin( π 4 -x)

（Ⅰ）求f(-

11π

12

)的值；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

)时，求g(x)=

1

2

f(x)+sin2x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函数公式和诱导公式，对f（x）的分子分母进行化简整理，约分可得f（x）=2cos2x，由此即可算出f(-

11π

12

)的值；
（2）由（1）的结论，得g(x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，再根据x的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到g（x）的最大值为

2

，最小值为1．

解答：解：（Ⅰ）∵cos²x=

1+cos2x

2

，cos²2x=

1+cos4x

2

，sin（

π

4

-x）=cos（

π

4

+x）
∴f(x)=

(1+cos2x)2-2cos2x-1

sin( π 4 +x)sin( π 4 -x)

=

cos22x

sin( π 4 +x)cos( π 4 +x)

=

2cos22x

sin( π 2 +2x)

=

2cos22x

cos2x

=2cos2x…（4分）
因此，f(-

11π

12

)=2cos(-

11π

6

)=2cos

π

6

=

3

…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=2cos2x，
∴g(x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)…（8分）

∵x∈[0， π 4 )

，可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

)…（10分）
∴当x=

π

8

时，gmax(x)=

2

，当x=0时．g_min（x）=1
即g(x)=

1

2

f(x)+sin2x的最大值为

2

，最小值为1．…（12分）

点评：本题给出三角函数表达式，要求我们将其化简成最简形式并求函数g（x）的最大、最小值．着重考查了三角函数的诱导公式、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．