题目内容

已知函数 $数学公式$ （其中a，b为常数）的图象经过（1，2）， $数学公式$ 两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在[1，+∞）上是增函数；
（3）若不等式 $数学公式$ 对任意的 $数学公式$ 恒成立，求实数a的取值集合．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ （其中a，b为常数）的图象经过（1，2）， $\text{[math]}$ 两点，
∴ $\text{[math]}$ ，解得a=1，b=1，
∴ $\text{[math]}$ ．…..
（2）设x₂＞x₁≥1，则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵x₂＞x₁≥1，∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数． …
（3）要使不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，
只需 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由（2）知f（x）在[1，+∞）上单调递增，
同理可证f（x）在（0，1]上单调递减．
当 $\text{[math]}$ 时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，f（x）在[1，3]上单调递增．
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a的取值集合是{a|a≥log₂5}．…
分析：（1）由函数 $\text{[math]}$ （其中a，b为常数）的图象经过（1，2）， $\text{[math]}$ 两点，列方程能求出函数f（x）的解析式．
（2）设x₂＞x₁≥1，推导出f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ ，由此能够证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）要使不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，只需 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能求出a的取值集合．
点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明，考查实数的取值集合的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法和等价转化思想的合理运用．