Question

【题目】已知椭圆（）与抛物线（）共交点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足.

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）国抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于两点，设线段的中点为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根据题意及抛物线的定义可得是抛物线的准线，从而得到，解得后可得方程；由题意得点的坐标为，然后根据椭圆的定义得到，又，故得，于是可得椭圆的方程．（2）由直线与抛物线相切并结合判别式可得；再根据直线与椭圆相交可得，又，可得.根据根与系数的关系得到 .又，故得，于是得到的取值范围是．

（1）∵抛物线上的点到轴的距离等于，

∴点到直线的距离等于点到交点的距离，

∴直线是抛物线的准线，

∴.

解得，

∴抛物线的方程为．

由题意得椭圆的右焦点，左焦点，

由得，

∴，

又，

可得点的坐标为.

由椭圆的定义得，

，

又，

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）显然，，

由，消去整理得，

由题意知，解得．

由，消去整理得，

即，

其中 ，

∴，

又，得，

解得.

设，，

则，

则 .

又，

∴.

∴的取值范围是.