Question

复数z满足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值.?

      

Answer 1

思路分析:动点Z到定点(-3, )的距离为定长,轨迹为圆,据此可解之.

?

       解法一:|z+3-i|=对应的复数z在复平面内所表示的图形为以-3+i对应的点P为圆心,以为半径的圆,|z|则表示圆上的点Z到原点的距离,如图所示,OP的连线交此圆于A、B两点,显然|OA|为最大距离,|OB|为最小距离,即?

       |z|_最大=|OP|+=+=3,?

       |z|_最小=|OP|-=2-=.?

       解法二:∵||z|-|3-i||≤|z+3-i|≤|z|+|3-i|,?

       又∵|z+3-i|=,|3-i|=2,?

       ∴||z|-2|≤,?

       即≤|z|≤3.?

       因此,|z|的最大值为3,最小值为.

       温馨提示:解法一充分利用复数模的几何意义,通过数形结合,充分利用形的直观、形象的特点,简化了对问题的处理方法;解法二则利用复数模的不等式:||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|,通过构造关于|z|的不等式,达到解题目的.