Question

【题目】已知函数

（1）若，求函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，设函数，若上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在使得函数在上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，或。

【解析】

试题分析：（1），所以，此时函数；（2）在（1）的条件下，函数为二次函数，对称轴为，若函数在区间上是单调函数，则应满足或，解得：或；（3）函数的对称轴方程为，分和两种情况进行讨论，当时，开口向上，对称轴，此时函数在区间上的最大值应在时取得，即，解得：与矛盾，当时，开口向下，此时函数最大值应在或或处取得，经验证，在及处取得最大值均不符合题意，若在处取得最大值，则，整理得，所以或，此时对称轴分别为和，均符合题意。

试题解析：（1）∵ 解得

∴

（2）由（1）可得

其对称轴方程为

若在上为增函数，则，解得

若在上为减函数，则，解得

综上可知，的取值范围为或

（3）假设存在满足条件的，则的最大值只可能在处取得，

其中

若，则有 得的值不存在，舍去

若，则有，解得

而时，对称轴，

则最大值应在处取得，与条件矛盾，舍去

若，则，且，

化简得，解得或 …（13分）

综上可知，当或时，函数在上的最大值是4.